Question

如圖，一艘輪船以15海里/時的速度由南向北航行，在A處測得小島P在北偏西15°方向上，兩小時后，輪船在B處測得小島P在北偏西30°方向上．在小島周圍18海里內有暗礁，若輪船不改變方向仍繼續向前航行，問：有無觸礁的危險？并說明你的理由．

Answer 1

分析：有危險，理由為：過P作PD垂直與AB，交AB延長線于點D，如圖所示，由∠PBD為三角形PAB的外角，利用外角的性質得到∠PBD=∠A+∠APB，由∠PBD及∠A的度數求出∠BPA的度數，得到∠BPA=∠A，利用等角對等邊得到PB=AB，由2小時走的路程為15海里/時×2，得到PB為30海里，在直角三角形PBD中，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得到PB=2PD，由PB的長求出PD的長，由PD的長與18比較大小，即可對輪船不改變方向仍繼續向前航行，有無觸礁的危險作出判斷．

解答：解：有危險，理由如下：
過點P作PD⊥AB，交AB的延長線于點D，如圖所示：

∵由題意可知：∠A=15°，∠PBD=30°，
∴∠BPA=∠PBD-∠A=15°，即∠BPA=∠A，
∴PB=AB=15×2=30（海里），
在Rt△BPD中，∠PBD=30°，PB=30海里，
∴PD=

1

2

PB=15海里＜18海里，
則輪船不改變方向仍繼續向前航行有觸礁的危險．

點評：此題考查了等腰三角形的判定與性質，三角形的外角性質，以及含30°直角三角形的性質，其中輪船有沒有危險由PD的長與18比較大小決定．