Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長線上截取BE=AB，點F在AE的延長線上，CE和DF交于點M，BC和DF交于點N．
（1）求證：四邊形DBEC是平行四邊形；                      
（2）如果AD²=AB•AF，求證：CM•AB=DM•CN．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據“對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證得結論；
（2）通過相似三角形△ADB∽△AFD的對應角相等知∠ADB=∠DFA，然后由?ABCD、?DBEC的性質以及等量代換證得△CMN∽△CMD，則該對相似三角形的對應邊成比例，即，又因為DC=AB，所以，即CM•AB=DM•CN．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB，DC=AB．
∵BE=AB，
∴DC=BE．
又∵DC∥BE，
∴四邊形DBEC是平行四邊形；

（2）∵AD²=AB•AF，
∴，
又∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△AFD，
∴∠ADB=∠DFA．
∵DC∥AB，
∴∠CDF=∠DFA．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴BC∥AD，
∴∠ADB=∠DBC．
∵四邊形DBEC是平行四邊形，
∴CE∥DB，
∴∠MCN=∠DBC，
∴∠MCN=∠CDF．
又∵∠CMN=∠DMC，
∴△CMN∽△CMD，
∴，
∵DC=AB，
∴，
∴CM•AB=DM•CN．
點評：本題考查了平行四邊形的判定與性質、相似三角形的判定與性質．三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用．