Question

（2009•荊門）一開口向上的拋物線與x軸交于A（m-2，0），B（m+2，0）兩點，記拋物線頂點為C，且AC⊥BC．
（1）若m為常數，求拋物線的解析式；
（2）若m為小于0的常數，那么（1）中的拋物線經過怎么樣的平移可以使頂點在坐標原點；
（3）設拋物線交y軸正半軸于D點，問是否存在實數m，使得△BOD為等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題點是未知的，因為拋物線與x軸交于A（m-2，0），B（m+2，0），可以把拋物線設為兩點式，根據AC⊥BC的關系解出C點坐標從而得到拋物線解析式；
（2）用圖象平移，m為小于零的常數，只需將拋物線向右平移|m|個單位，再向上平移2個單位就可以了；
（3）假設存在，求出△BOD三個頂點坐標，則有兩邊相等，從而解出m．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為：y=a（x-m+2）（x-m-2）=a（x-m）²-4a．（2分）
∵AC⊥BC，由拋物線的對稱性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB=4，
∴C（m，-2）代入得a=．
∴解析式為：y=（x-m）²-2．（5分）
（亦可求C點，設頂點式）

（2）∵m為小于零的常數，
∴只需將拋物線向右平移|m|個單位，再向上平移2個單位，可以使拋物線y=（x-m）²-2頂點在坐標原點．（7分）

（3）由（1）得D（0，m²-2），設存在實數m，使得△BOD等腰三角形．
∵△BOD為直角三角形，
∴只能OD=OB．（9分）
m²-2=|m+2|，當m+2＞0時，解得m=4或m=-2（舍）．
當m+2＜0時，解得m=0或m=-2（舍）；
∵m=0時，D點坐標為（0，-2），在y軸的負半軸，
∴m=0舍去；
m=2，D點坐標為（0，0），也不合題意舍去；
當m+2=0時，即m=-2時，B、O、D三點重合（不合題意，舍）
綜上所述：存在實數m=4，使得△BOD為等腰三角形．（12分）
點評：此題考查拋物性質，巧妙設拋物線解析式，還考了三角形垂直性質和拋物線的平移，最后探究存在性問題．