Question

（1999•西安）如圖，在矩形ABCD中，E是CD的中點，BE⊥AC交AC于F，過F作FG∥AB交AE于G．
求證：AG²=AF•FC．

Answer 1

【答案】分析：在Rt△ABC中，BF⊥AC，根據射影定理可得BF²=AF•FC，所以只需證得BF=AG即可；由于E是CD中點，易證得△DAE≌△CBE，得AE=BE，由于GF∥AB，則△EGF也是等腰三角形，得EG=EF，進而可得AG=BF，由此得證．
解答：證明：∵E是CD中點，
∴DE=CE；
在△DEA和△CEB中，
∴△DEA≌△CEB（SAS），即AE=BE；
∵GF∥AB，
∴，即，
∵AE=BE，則AG=BF；
在Rt△ABC中，BF⊥AC，則△ABF∽△BCF，
∴BF²=AF•FC，即AG²=AF•FC．
點評：此題主要考查的是全等三角形、相似三角形的判定和性質，能夠發現AG、BF的等量關系是解答此題的關鍵．