Question

如圖所示，四邊形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AE⊥BC于E，△ADF是△ABE繞著點A按逆時針方向旋轉90°得到的．
（1）F、D、C三點共線嗎？說出理由；
（2）試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由；
（3）若AE=8cm，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）F、D、C三點共線．首先根據旋轉的性質可以得到ADF≌△ABE，然后利用全等三角形的性質得到∠B=∠ADF，接著利用四邊形的內角和可以得到∠ADF+∠ADC=180°，從而得到F、D、C三點共；
（2）四邊形AECF是正方形，利用△ABE≌△ADF，AE⊥BC可以證明∠C=∠AEB=∠AEC=∠F=90°，而AE=AF，由此即可解決問題；
（3）利用（1）（2）的結論和正方形的面積公式即可求解．
解答：解：（1）F、D、C三點共線         
∵△ADF由△ABE旋轉所得
∴△ADF≌△ABE
∴∠B=∠ADF
∵在四邊形ABCD中，∠BAD=∠C=90°
∴∠B+∠ADC=180°
∴∠ADF+∠ADC=180°
∴F、D、C三點共線；

（2）四邊形AECF是正方形，
△ABE≌△ADF，AE⊥BC，
∠C=∠AEB=∠AEC=∠F=90°，
AE=AF，
∴四邊形AECF是正方形；

（3）S_{四邊形ABCD}=S_{正方形AECF}=AE²=8²=64cm²．
點評：此題分別考查了正方形的性質、判定和旋轉的性質，同時也考查了全等三角形的性質，解答本題要充分利用旋轉的性質．也要注意在正方形中的等積變化．