Question

在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，若將經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線沿軸向下平移3個(gè)單位后恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線．

（1）求直線及拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如果P是線段上一點(diǎn)，設(shè)、的面積分別為、，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)的半徑為l，圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否存在與坐標(biāo)軸相切的情況？若存在，求出圓心的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．并探究：若設(shè)⊙Q的半徑為，圓心在拋物線上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)取何值時(shí)，⊙Q與兩坐軸同時(shí)相切？

 

Answer 1

（1）解：（1）∵沿軸向下平移3個(gè)單位后恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

           ∴，。

           將 代入，得。解得。

           ∴直線AC的函數(shù)表達(dá)式為。

         ∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線

∴解得

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為。

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D。

  ∵，

∴

∴。

過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，

∵PE∥CO，∴△APE∽△ACO，

∴，

∴

∴，解得

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（3）（Ⅰ）假設(shè)⊙Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在與坐標(biāo)軸相切的情況。

         設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為。

①     當(dāng)⊙Q與y軸相切時(shí)，有，即。

當(dāng)時(shí)，得，∴

當(dāng)時(shí)，得，∴

②     當(dāng)⊙Q與x軸相切時(shí)，有，即

當(dāng)時(shí)，得，即，解得，∴

當(dāng)時(shí)，得，即，解得，∴，。

綜上所述，存在符合條件的⊙Q，其圓心Q的坐標(biāo)分別為，，，，。

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為。

當(dāng)⊙Q與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相切時(shí)，有。

由，得，即，

∵△=

∴此方程無(wú)解。

由，得，即，

解得

∴當(dāng)⊙Q的半徑時(shí)，⊙Q與兩坐標(biāo)軸同時(shí)相切。