Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E是CD上一點，AD=DE，BC=CE，F(xiàn)是AB的中點，AE、DF交于G，BE、CF交于H．
（1）判斷△ABE的形狀并說明理由；
（2）若以AB為直徑作⊙F，試證明CD與⊙F相切于點E．
（3）若AD=DE=1cm，BC=CE=3cm，求四邊形FHEG的面積．

Answer 1

（1）結(jié)論：△ABE是直角三角形．
證明：∵AD=DE，BC=EC．∴∠DAE=∠DEA，∠BEC=∠EBC．
∴∠DEA=（180°-∠ADE），∠BEC=（180°-∠ECB）．
∵AD∥BC．∴∠ADE+∠ECB=180°．
∴∠DEA+∠BEC=（180°-∠ADE）+（180°-∠ECB）=90°．
∴∠BEA=180°-（∠DEA+∠BEC）=90°．
∴△ABE是直角三角形．

（2）連接EF．∵∠BEA=90°．∴點E在以AB為直徑的圓上．
∴AF=EF．又∵AD=DE，DF=DF．
∴△DAF≌△DEF．∴∠DEF=∠DAF=90°．
∴CD與⊙F相切于點E．

（3）∵AD=DE，AF=EF．
∴DF垂直平分AE．
∴∠EGF=90°．同理：∠EHF=90°．
又∵∠BEA=90°∴四邊形GFHE是矩形．
∵EF²=DE×EC=3，∴EF=，
tan∠DFE==，∴∠DFE=30°，
∴FG=EF•cos30°=，F(xiàn)H=EF•sin30°=，
∴四邊形FHEG的面積．
分析：（1）由AD∥BC，得∠ADE+∠ECB=180°，根據(jù)△ADE，△CBE為等腰三角形，表示∠AED，∠BEC，根據(jù)∠BEA=180°-（∠DEA+∠BEC）求度數(shù)，判斷結(jié)論；
（2）連接EF，AB為直徑，且∠BEA=90°，可判斷點E在以AB為直徑的圓上，只需要證明EF⊥CD即可；
（3）證明∠CFD=90°，判斷四邊形GFHE是矩形，又EF⊥CD，由相似可得EF²=DE×EC，可求半徑EF，解直角三角形得∠DFE=30°，再分別求FG，EG即可．
點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的知識．關(guān)鍵是連接EF，利用內(nèi)角和定理判斷特殊三角形．