Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)的“非常距離”，給出如下定義：

若|x1x2|≥|y1y2|，則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|x1x2|；

若|x1x2||y1y2|，則點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|y1y2|.

例如：點(diǎn)P1(1，2)，點(diǎn)P2(3，5)，因?yàn)?/span>|13||25|，所以點(diǎn)P1與點(diǎn)P2的“非常距離”為|25|3，也就是圖中線段P1Q與線段P2Q長(zhǎng)度的較大值（點(diǎn)Q為垂直于y軸的直線P1Q與垂直于x軸的直線P2Q的交點(diǎn)）.

（1）已知點(diǎn)A(0,1)，

①在B(,0)，C(2,1)，D(1,2)，E(0,)四個(gè)點(diǎn)中，與點(diǎn)A的“非常距離”為的點(diǎn)是；

②點(diǎn)F為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)A與點(diǎn)F的“非常距離”的最小值；

（2）已知點(diǎn)M是直線y2x6上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

①點(diǎn)G的坐標(biāo)是（0，2），求點(diǎn)M與點(diǎn)G的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)；

①點(diǎn)N是以點(diǎn)（4，0）為圓心，為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直接寫出點(diǎn)M與點(diǎn)N的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）①B ，E；②1； （2）①點(diǎn) M 的坐標(biāo)為()，②M 與點(diǎn) N 的“非常距離”的最小值為 3，M(1, 4).

【解析】

（1）①由“非常距離”的定義可以確定在B(,0)，C(2,1)，D(1,2)，E(0,)四個(gè)點(diǎn)中，與點(diǎn)A的“非常距離”，據(jù)此可以得答案；
②設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，0），根據(jù)|0-x|＜|0-1|，得出點(diǎn)F與點(diǎn)A的“非常距離”最小值為|0-1|=1，即可得出答案；
（2）①設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,2x06)，先確定出M點(diǎn)的位置，由M在直線y=2x+6上，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)(x0,2x06)，由條件可求得M點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)M與點(diǎn)G的“非常距離”d的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)；；
②當(dāng)點(diǎn)P在過原點(diǎn)且與直線y=-2x-6垂直的直線上時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)P的“非常距離”最小，利用相似求出P（2，1），進(jìn)而求解即可．

解：

（1）①根據(jù)定義可得：

點(diǎn)A（0，1）與點(diǎn)B(,0)的“非常距離”為=；

點(diǎn)A（0，1）與點(diǎn)C(2,1)的“非常距離”為=2；

點(diǎn)A（0，1）與點(diǎn)D(-1,2)的“非常距離”為=1；

點(diǎn)A（0，1）與點(diǎn)E(0,-)的“非常距離”為=；

故與點(diǎn)A的“非常距離”為的是B,E.

(2)設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，0），若點(diǎn)F與點(diǎn)A的“非常距離”最小值，則|0-x|＜|0-1|故為“非常距離”最小值|0-1|=1，

故答案為①B，E；②1；

（2）①過M點(diǎn)作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)H，連結(jié)MG，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)G的左上方且使△MGH為等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)G的“非常距離”最小．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,2x06)，由HM=HN得

|x0-0|=|2x06-2|，解得：x0=-4，或x0=

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-4，-2）或（，），

∴HM=HN=4或，
∴點(diǎn)M與點(diǎn)N的“非常距離”的最小值為，相應(yīng)的M的坐標(biāo)為（，）；

②.當(dāng)點(diǎn)N在過圓心P且與直線y=2x+6垂直的直線上時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)N的“非常距離”最小，設(shè)N（x，y）（點(diǎn)N位于第一象限）．過N點(diǎn)作NH⊥x軸，

直線y=2x+6交坐標(biāo)軸于A（0，6），B（-3，0），

∴AB=3，

∵△PBM∽△PNH，

∴

∵PN=

∴NH=1，PH=2，

∵P（4，0），

∴N（2，1），

當(dāng)2-x02x061

∴x01

∴M(1,4),

點(diǎn)M與點(diǎn)N的“非常距離”的最小值為3.