Question

【題目】如圖，已知二次函數y=ax2+bx+8（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣2，0），

B（4，0）與y軸交于點C．

（Ⅰ）求拋物線的解析式及其頂點D的坐標；

（Ⅱ）求△BCD的面積；

（Ⅲ）若直線CD交x軸與點E，過點B作x軸的垂線，交直線CD與點F，將拋物線沿其對稱軸向上平移，使拋物線與線段EF總有公共點．試探究拋物線最多可以向上平移多少個單位長度（直接寫出結果，不寫求解過程）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）拋物線的解析式：y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣1）2+9，頂點D（1，9）；（Ⅱ）6；（Ⅲ）72.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用待定系數法求出拋物線的解析式，通過對解析式進行配方能得到頂點D的坐標；

（Ⅱ）先求出直線BC解析式，進而用三角形的面積公式即可得出結論．

（Ⅲ）首先確定直線CD的解析式以及點E，F的坐標，若拋物線向上平移，首先表示出平移后的函數解析式；當x=﹣8時（與點E橫坐標相同），求出新函數的函數值，若拋物線與線段EF有公共點，那么該函數值應不大于點E的縱坐標．當x=4時（與點F的橫坐標相同），方法同上，結合上述兩種情況，即可得到函數圖象的最大平移單位．

試題解析：（Ⅰ）將A、B的坐標代入拋物線的解析式中，得：

，解得，

∴拋物線的解析式：y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣1）2+9，頂點D（1，9）；

（Ⅱ）如圖1，

∵拋物線的解析式：y=﹣x2+2x+8，

∴C（0，8），

∵B（4，0），

∴直線BC解析式為y=﹣2x+8，

∴直線和拋物線對稱軸的交點H（1，6），

∴S△BDC=S△BDH+S△DHC=×3×1+×3×3=6．

（Ⅲ）如圖2，

∵C（0，8），D（1，9）；

代入直線解析式y=kx+b，

∴，

解得：，

∴y=x+8，

∴E點坐標為：（﹣8，0），

∵B（4，0），

∴x=4時，y=4+8=12

∴F點坐標為：（4，12），

設拋物線向上平移m個單位長度（m＞0），

則拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣1）2+9+m；

當x=﹣8時，y=m﹣72，

當x=4時，y=m，

∴m﹣72≤0 或 m≤12，

∴0＜m≤72，

∴拋物線最多向上平移72個單位．