Question

（1）操作發現
如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點，將△ABE沿BE折疊后得到△GBE，且點G在矩形ABCD內部．小明將BG延長交DC于點F，認為GF=DF，你同意嗎？說明理由．
（2）問題解決
保持（1）中的條件不變，DC=2DF，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接EF，則AE=EG，可證明Rt△EGF≌Rt△EDF，則GF=DF，∠GEF=∠DEF，∠GFE=∠DFE，∠AEB=∠GEB，從而得出△EDF∽△BAE∽△BEF；
（2）設DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y．根據DC=2DF得到CF=x，DC=AB=BG=2x，BF=BG+GF=3x，然后利用勾股定理得到y與x之間關系，從而求得兩條線段的比．
解答：解：（1）同意．連接EF，則∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF．
∴Rt△EGF≌Rt△EDF．
∴GF=DF；

（2）由（1）知，GF=DF．設DF=x，BC=y，則有GF=x，AD=y．
∵DC=2DF，
∴CF=x，DC=AB=BG=2x．∴BF=BG+GF=3x．
在Rt△BCF中，BC²+GF²=BF²，即y²+x²=（3x）²．
∴y=2x
∴==；
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質以及翻折的性質，難度較大．