Question

已知四邊形ABCD內接于⊙O，分別延長AB和DC相交于點P，

CB

=

CD

，AB=12，CD=6，PB=8，則⊙O的面積為

 

．

Answer 1

分析：由切割線定理求出PC，證△PCB∽△PAD得到比例式求出AD，根據AD、AB、CD、BC的長度推出AC是直徑，求出∠ABC=90°，根據勾股定理求出AC即可．

解答：解：由切割線定理得：PB×PA=PC×PD，
∴8×（8+12）=PC×（PC+6），
∴PC=10，
連接AC，
∵四邊形ABCD內接于圓O，
∴∠PCB=∠PAD，
∵∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAD，
∴

PC

PA

=

BC

AD

，
∵弧BC=弧CD，
∴BC=CD=6，
∵PC=10，PA=8+12，
∴

10

8+12

=

6

AD

，
∴AD=12=AB，
∴弧AB=弧AD，
∵弧BC=弧CD，
∴弧ABC=弧ADC，
∴AC是圓的直徑，
∴∠ABC=90°，
由勾股定理得：AC=

AB2+BC2

=6

5

，
∴圓O的半徑是3

5

，面積是π•(3

5

)2=45π，
故答案為：45π．

點評：本題主要考查對圓周角定理，勾股定理，相似三角形的性質和判定等知識點的連接和掌握，能推出AC是直徑是解此題的關鍵．