Question

在平面直角坐標系中，第1個正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．延長CB交x軸于點A₁，作第2個正方形A₁B₁C₁C；延長C₁B₁交x軸于點A₂，作第3個正方形A₂B₂C₂C₁…按這樣的規律進行下去，第2011個正方形的面積為（ ）

A．5
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：先根據兩對對應角相等的三角形相似，證明△AOD和△A₁BA相似，根據相似三角形對應邊成比例可以得到AB=2A₁B，所以正方形A₁B₁C₁C的邊長等于正方形ABCD邊長的 ，以此類推，后一個正方形的邊長是前一個正方形的邊長的，然后即可求出第2011個正方形的邊長與第1個正方形的邊長的關系，從而求出第2011個正方形的面積．
解答：解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC，
∴∠ABA₁=90°，∠DAO+∠BAA₁=90°，
又∵在坐標平面內，∠DAO+∠ADO=90°，
∴∠ADO=∠BAA₁，
在△AOD和△A₁BA中，，
∴△AOD∽△A₁BA，
∴OD：AO=AB：A₁B=2，
∴BC=2A₁B，
∴A₁C=BC，
以此類推A₂C₁=A₁C，A₃C₂=A₂C₁，…，
即后一個正方形的邊長是前一個正方形的邊長的倍，
∴第2011個正方形的邊長為（）²⁰¹⁰BC，
∵A的坐標為（1，0），D點坐標為（0，2），
∴BC=AD==，
∴第2011個正方形的面積為[（ ）²⁰¹⁰BC]²=5（ ）⁴⁰²⁰．
故選D．
點評：本題主要考查了相似三角形的性質與正方形的性質，根據規律推出第2011個正方形的邊長與第1個正方形的邊長的關系是解題的關鍵，也是難點，本題綜合性較強．