Question

如圖，矩形ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，連接CE，AF．
（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．
（2）若AB=，BC=3，求CE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC，與BD相交于點O，根據矩形的對角線互相平分可得OA=OC，OB=OD，再利用“角角邊”證明△ABE和△CDF全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=DF，然后求出OE=OF，再根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明；
（2）利用勾股定理求出BD長，再求出△ABE和△ABD相似，根據相似三角形對應邊成比例列式求出BE的長度，從而得到DE、AE的長，然后求出EF的長，在Rt△CEF中，利用勾股定理列式計算即可求出CE．
解答：（1）證明：如圖，連接AC，與BD相交于點O，
在矩形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，
即OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）；

（2）解：∵AB=，BC=3，
∴BD===2，
∵∠ABE=∠DBA，∠AEB=∠DAB=90°，
∴△ABE∽△ABD，
∴==，
即==，
解得，BE=，AE=，
∴EF=BD-2BE=2-×2=，
CF=AE=，
在Rt△CEF中，CE===．
點評：本題考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的應用，相似三角形的判定與性質，平行四邊形的判定，綜合題題，但難度不大，作出輔助線是解題的關鍵．