Question

（2002•上海）操作：將一把三角尺放在邊長為1的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經過點B，另一邊與射線DC相交于點Q．
探究：設A、P兩點間的距離為x．
（1）點Q在CD上時，線段PQ與線段PB之間有怎樣的大小關系？試證明你觀察得到的結論（如圖1）；
（2）點Q邊CD上時，設四邊形PBCQ的面積為y，求y與x之間的函數解析式，并寫出函數的定義域（如圖2）；
（3）點P在線段AC上滑動時，△PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點Q的位置，并求出相應的x的值；如果不可能，試說明理由（如圖3）．（圖4、圖5、圖6的形狀、大小相同，圖4供操作、實驗用，圖5和圖6備用）．

Answer 1

【答案】分析：（1）過點P作MN∥BC，分別交AB于點M，交CD于點N，可得四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，△AMP和△CNP都是等腰三角形；根據等腰三角形的性質與角的互余關系進行代換可得△QNP≌△PMB，故PQ=PB．
（2）設AP=x，故AM=MP=NQ=DN=x，由（1）的結論，可得CQ=CD-DQ=1-2×x=1-x；
根據圖形可得關系S_{四邊形PBCQ}=S_△PBC+S_△PCQ，代入數據可得解析式．
（3）分①當點P與點A重合，與②當點Q在邊DC的延長線上，兩種情況討論，分別討論答案．
解答：解：（1）PQ=PB，
證明：過點P作MN∥BC，分別交AB于點M，交CD于點N，則四邊形AMND和四邊形BCNM都是矩形，
△AMP和△CNP都是等腰三角形（如圖1）．
∴NP=NC=MB
∵∠BPQ=90°
∴∠QPN+∠BPM=90°，而∠BPM+∠PBM=90°
∴∠QPN=∠PBM．
又∵∠QNP=∠PMB=90°
∴△QNP≌△PMB（ASA），
∴PQ=PB．

（2）由（1）知△QNP≌△PMB，得NQ=MP．
∵AP=x，
∴AM=MP=NQ=DN=x，BM=PN=CN=1-x，
∴CQ=CD-DQ=1-2×x=1-x
∴S_△PBC=BC•BM=×1×（1-x）=-x，
S_△PCQ=CQ•PN=×（1-x）（1-x）=-x+x²，
∴S_{四邊形PBCQ}=S_△PBC+S_△PCQ=x²-x+1，
即y=x²-x+1（0≤x）．

（3）△PCQ可能成為等腰三角形．
①當點P與點A重合，點Q與點D重合，這時PQ=QC，△PCQ是等腰三角形，此時x=0；
②當點Q在邊DC的延長線上，且CP=CQ時，△PCQ是等腰三角形（如圖3），
此時，QN=PM=x，CP=-x，CN=CP=1-x，
∴CQ=QN-CN=x-（1-x）=x-1，
當-x=x-1時，得x=1．
③BP⊥AC，Q點與C點重合，PQ=CP，△PCQ不存在．
綜上所述，x=0或1時，△PCQ為等腰三角形．
點評：解答本題要充分利用正方形的特殊性質．注意在正方形中的特殊三角形的應用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關系，可有助于提高解題速度和準確率．