Question

如圖，Rt△AOB中，∠A=90°，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)A在x軸正半軸上，OA=2，AB=8，點(diǎn)C為AB邊的中點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)O，且經(jīng)過C點(diǎn)．
（1）填空：直線OC的解析式為

 

；拋物線的解析式為

 

；
（2）現(xiàn)將該拋物線沿著線段OC移動，使其頂點(diǎn)M始終在線段OC上（包括端點(diǎn)O、C），拋物線與y軸的交點(diǎn)為D，與AB邊的交點(diǎn)為E；
①是否存在這樣的點(diǎn)D，使四邊形BDOC為平行四邊形？如存在，求出此時(shí)拋物線的解析式；如不存在，說明理由；
②設(shè)△BOE的面積為S，求S的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）本題須先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)然后即可求出直線OC的解析式和拋物線的解析式．
（2）①本題首先需根據(jù)拋物線的移動規(guī)律設(shè)出拋物線的解析式，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出m的值．
②本題需先求出△BOE的面積S與m的關(guān)系，再根據(jù)m的取值范圍即可求出S的取值范圍．

解答：解：（1）∵OA=2，AB=8，點(diǎn)C為AB邊的中點(diǎn)
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4）點(diǎn)，
設(shè)直線的解析式為y=kx
則4=2k，解得k=2
∴直線的解析式為y=2x，
設(shè)拋物線的解析式為y=kx²
則4=4k，解得k=1
∴拋物線的解析式為y=x²

（2）設(shè)移動后拋物線的解析式為y=（x-m）²+2m
當(dāng)OD=BC，四邊形BDOC為平行四邊形，
∴OD=BC=4，
①則可得x=0時(shí)y=4，
∴m²+2m=4，
∴（m+1）²=5
解得m=-1+

5

，m=-1-

5

（舍去），
所以m=-1+

5

y=(x+1-

5

)2+2×（-1+

5

）
=(x+1-

5

)2-2+2

5

，
②∵BE=8-[（2-m）²+2m]
=4+2m-m²
∴S_△BOE=

1

2

BE•OA
=

1

2

（4+2m-m²）×2
=-m²+2m+4
=-（m-1）²+5，
而0≤m≤2，
所以4≤S≤5．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)綜合應(yīng)用，在解題時(shí)要注意結(jié)合題意求出拋物線的解析式并能列出方程是本題的關(guān)鍵．