Question

在復習課上，老師布置了一道思考題：如圖所示，點M，N分別在等邊△ABC的BC、CA邊上，且BM=CN，AM、BN交于點Q，求證：∠BQM=60°．
（1）請你完成這道思考題；
（2）做完（1）后，同學們在老師的啟發下進行了反思，提出許多問題，譬如：
①若將題中“BM=CN”與“∠BQM=60°”的位置交換，得到的是否仍是真命題？
②若將題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，是否仍能得到∠BQM=60°？請你選擇其中一個問題并畫出圖形，給出證明．

Answer 1

解：（1）∵在△ABM和△BCN中，
，
∴△ABM≌△BCN（SAS）．
∴∠BAM=∠CBN（全等三角形對應角相等）．
∵∠QBA+∠CBN=∠CBA=60°（已知），
∴∠QBA+∠BAM=60°（等量代換）．
∴∠BQM=60°．

（2）①是．
∵∠BQM=60°（已知），
∴∠QBA+∠BAM=60°．
∵∠QBA+∠CBN=60°（由（1）得出的結論），
∴∠BAM=∠CBN（等量代換）．
在△ABM和△BCN中，

∴△ABM≌△BCN（ASA）．
∴BM=CN（全等三角形對應邊相等）．
②成立．
∵BM=CN（①的結論），
∴CM=AN（等量代換）．
∵AB=AC，∠ACM=∠BAN=180°-60°=120°（平角的性質），
在△BAN和△ACM中，

∴△BAN≌△ACM（SAS）．
∴∠NBA=∠MAC，
∴∠BQM=∠BNA+∠NAQ=180°-∠NCB-（∠CBN-∠NAQ）=180°-60°-60°=60°（三角形內角和定理）．
分析：（1）由已知條件得△ABM≌△BCN，得∠BAM=∠CBN，又因為∠QBA+∠CBN=∠CBA=60°，所以∠QBA+∠BAM=60°，即有∠BQM=60°；
（2）①因為∠BQM=60°，所以∠QBA+∠BAM=60°，又因為∠QBA+∠CBN=60°，所以∠BAM=∠CBN，已知∠B=∠C，AB=AC，則ASA可判定△ABM≌△BCN，即BM=CN；②成立．
點評：本題考查了全等三角形的判定和性質及等邊三角形的性質；此題把全等三角形的判定和性質結合求解．有利于培養學生綜合運用數學知識的能力，全等三角形的證明是正確解答本題的關鍵．