Question

如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABO的頂點B在x軸上，點A坐標為（0，12），點B坐標為（6，0），拋物線y=x²沿O→B→A方向進行平移，平移后的拋物線頂點為P．
（1）求線段AB所在直線的函數表達式；
（2）如圖1，當點P與點B重合時，拋物線與AB的另一交點為M，求線段BM（即PM）的長；
（3）如圖2，當點P在AB上時，拋物線與OA的另一交點為N，求以PN為直徑的⊙I與y軸相切時拋物線的頂點坐標．

Answer 1

分析：（1）首先設直線AB是y=kx+b，利用待定系數法即可求得線段AB所在直線的函數表達式；
（2）當點P與點B重合時，由拋物線的頂點是（6，0），可得拋物線的解析式是y=（x-6）²，由點M是拋物線與直線AB的交點，得方程x²-12x+36=-2x+12，然后解方程即可求得點M的坐標，作ME⊥OB于E，在Rt△MEB中，根據勾股定理即可求得線段BM（即PM）的長；
（3）當拋物線沿BA方向平移時，由拋物線的頂點P在直線AB上，N是拋物線與直線AB的交點，根據平移的性質得PN=BM=2

5

，又由PN是⊙I的直徑，I是PN的中點，可得當⊙I與y軸相切時，IC=PI，過點I、P分別作y軸的垂線，垂足分別是C、D，利用三角函數的知識即可求得以PN為直徑的⊙I與y軸相切時拋物線的頂點坐標．

解答：解：（1）設直線AB是y=kx+b，
∵點A、B的坐標是（0，12）、（6，0），

b=12 0=6k+b

，
解得：b=12，k=-2，
∴直線AB的解析式是y=-2x+12；

（2）當點P與點B重合時，拋物線的頂點是（6，0），
∴拋物線的解析式是y=（x-6）²，即y=x²-12x+36，
∵點M是拋物線與直線AB的交點，
由x²-12x+36=-2x+12，
解得x₁=4，x₂=6（與點P重合），
當x₁=4時，y=4，
∴M的坐標是（4，4），
作ME⊥OB于E，得ME=4，BE=6-4=2，
在Rt△MEB中，根據勾股定理得：BM=

16+4

=2

5

；

（3）當拋物線沿BA方向平移時，
∵拋物線的頂點P在直線AB上，
N是拋物線與直線AB的交點，
根據平移的性質得PN=BM=2

5

，
已知PN是⊙I的直徑，I是PN的中點，
當⊙I與y軸相切時，IC=PI=

5

，
過點I、P分別作y軸的垂線，垂足分別是C、D，
∴

IC

AI

=

PD

AP

=

BO

AB

=sin∠OAB=

6

62+122

=

1

5

，
∴AI=

5

IC=5，PI=AI+IP=5+

5

，
∴PD=

IC•AP

AI

=

5 (5+ 5 )

5

=

5

+1，
∵點P在直線y=-2x+12上，當x=

5

+1時，
∴y=-2（

5

+1）+12=10-2

5

，
∴當⊙I與y軸相切時，P點坐標為（

5

+1，10-2

5

）．

點評：此題考查了待定系數法求函數的解析式，二次函數的性質，平移的性質以及勾股定理、三角函數的性質的應用等知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．