Question

閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．

已知：如圖，是的中點，點在上，且．

    求證：.

    分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應用全等三角形或等腰三角形的判定和性質，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等．因此，要證，必須添加適當的輔助線，構造全等三角形或等腰三角形．

   現給出如下三種添加輔助線的方法，請任意選擇其中一種，對原題進行證明．

 

Answer 1

方法一：作BF⊥DE于點F，CG⊥DE于點G. ∴ ∠F=∠CGE=90°.又∵ ∠BEF=∠CEG，BE=CE，∴ △BFE≌△CGE.∴ BF=CG.在△ABF和△DCG中，∵ ∠F=∠DGC=90°，∠BAE=∠CDE，BF=CG，∴ △ABF≌△DCG.∴ AB=CD.

方法二：作CF∥AB，交DE的延長線于點F.∴ ∠F=∠BAE.又∵ ∠ABE=∠D，∴ ∠F=∠D.∴ CF=CD.∵ ∠F=∠BAE，∠AEB=∠FEC，BE=CE，∴ △ABE≌△FCE.∴ AB=CF. ∴ AB=CD.

方法三：延長DE至點F，使EF=DE.又∵ BE=CE，∠BEF=∠CED，∴ △BEF≌△CED.  ∴ BF=CD，∠D =∠F. 又∵ ∠BAE=∠D，∴ ∠BAE=∠F. ∴ AB=BF.∴ AB=CD.