Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線與y軸交于點B，過點B作x軸的平行線BC，交拋物線于點C，連接AC.現有兩動點P，Q分別從0，C兩點同時出發，點P以每秒4個單位的速度沿OA向終點A移動，點Q以每秒1個單位速度沿CB向點B移動，點P停止運動時，點Q也同時停止運動，線段OC，PQ相交于點D，過點D作DE∥OA，交CA于點E，射線QE交x輔于點F．設動點P，Q移動的時間為t（單位：秒）．
【小題1】求A，B，C三點的坐標和拋物線的頂點坐標；
【小題2】當O<t<時’△PQF的面積是否為定值？若是，求出此定值，若不是，說明理由
【小題3】當t為何值時，△PQF為等腰三角形？請寫出解答過程．

Answer 1

【小題1】
令y=0,得：x²-8x-180=0
即：（x-18）(x+10)=0
所以：x₁=18；x₂=-10
所以：A（18，0）                                     （1分）
在中，令x=10得y=10
即：B（0，-10）                                      （2分）
由于BC//OA
故得：
X=8或x=0,
即：C（8，10）                                       （3分）
頂點坐標為（4，）
于是，A（18，0），B(0,-10), C(8,-10),頂點坐標為（4，）
【小題2】設點P運動t秒，則OP=4t.CQ=t,0<t<4.5               (5分
說明點P在線段OA上，且不與點O，A重合。
由于QC//OP知 ∆QDC~∆PDO, 故
所以：AF=4t=OP
所以：PF=PA+AF=PA+OP=18                          (6分)
又點Q到直線PF的距離d=10
所以S_∆PQF="1/2" PF×d="1/2" ×18×10=90
于是∆PQF的面積總為90；                                （8分）
【小題3】由上知P(4t,0) ,F(18+4t,0);
Q(8-t,-10),0<t<4.5
構造直角三角形后易得.

                (9分)
①若FP=PQ,即
得：
因為：0<t<4.5
所以：
(不合題意，舍去)                         （10分）
②若PQ=QF,即，無0<t<4.5的t 的滿足條件。（11分）
③若PF=QF,即。得
5t+10=

又0<t<4.5,
所以
綜上所述，當時，∆PQR是等腰三角形。           （12分）

解析