Question

【題目】如圖（1），在中，，．點為內一點，且．

（1）求證：；

（2），為延長線上的一點，且．如圖（2），

①求證：平分；

②若點在線段上，且，請判斷、的數量關系，并給出證明．

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）①見詳解；②ME=BD，理由見詳解.

【解析】

（1）利用線段的垂直平分線的性質即可證明；

（2）①易證BD=AD，可得△ADC≌△BDC，即可求得∠ACD=∠BCD=45°即可解題；

②連接MC，易證△MCD為等邊三角形，即可證明△BDC≌△EMC即可解題；

（1）證明：∵CB=CA，DB=DA，

∴CD垂直平分線段AB，

∴CD⊥AB．

（2）①證明：∵AC=BC，

∴∠CBA=∠CAB，

又∵∠ACB=90°，

∴∠CBA=∠CAB=45°，

又∵∠CAD=∠CBD=15°，

∴∠DBA=∠DAB=30°，

∴∠BDE=30°+30°=60°，

∵AC=BC，∠CAD=∠CBD=15°，

∴BD=AD，

在△ADC和△BDC中，

，

∴△ADC≌△BDC（SAS），

∴∠ACD=∠BCD=45°，

∴∠CDE=60°，

∵∠CDE=∠BDE=60°，

∴DE平分∠BDC；

②解：結論：ME=BD，

理由：連接MC，

∵DC=DM，∠CDE=60°，

∴△MCD為等邊三角形，

∴CM=CD，

∵EC=CA，∠EMC=120°，

∴∠ECM=∠BCD=45°

在△BDC和△EMC中，

，

∴△BDC≌△EMC（SAS），

∴ME=BD．