Question

在正方形網格中以點A為圓心，AB為半徑作圓A交網格于點C（如圖（1）），過點C作圓的切線交網格于點D，以點A為圓心，AD為半徑作圓交網格于點E（如圖（2））．
問題：
（1）求∠ABC的度數；
（2）求證：△AEB≌△ADC；
（3）△AEB可以看作是由△ADC經過怎樣的變換得到的？并判斷△AED的形狀（不用說明理由）．
（4）如圖（3），已知直線a，b，c，且a∥b，b∥c，在圖中用直尺、三角板、圓規畫等邊三角形A′B′C′，使三個頂點A′，B′，C′，分別在直線a，b，c上．要求寫出簡要的畫圖過程，不需要說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BC，通過證明△ABC是等邊三角形，即可求出∠ABC的度數；
（2）在Rt△AEB與Rt△ADC中，通過HL證明△AEB≌△ADC；
（3）由旋轉的性質即可得出△AED是等邊三角形；
（4）利用HL定理可證△A′N′C′≌△A′M′B′，得∠C′A′N′=∠B′A′M′，于是∠B′A′C′=∠M′A′N′=60°，由A′B′=A′C′得△A′B′C′為等邊三角形．
解答：解：（1）連接BC，由網格可知點C在AB的中垂線上，
∴AC=BC，
∵AB=AC，∴AB=BC=AC，即△ABC是等邊三角形．
∴∠ABC=60°；

（2）∵CD切⊙A于點C，
∴∠ACD=90°∠ABE=∠ACD=90°，
在Rt△AEB與Rt△ADC中，
∵AB=AC，AE=AD．
∴Rt△AEB≌Rt△ADC（HL）；

（3）△AEB可以看作是由△ADC繞點A順時針旋轉60°得到的．
△AED是等邊三角形；

（4））①在直線a上任取一點，記為點A′，作A′M′⊥b，垂足為點M′；②作線段A′M′的垂直平分線，此直線記為直線d；③以點A′為圓心，A′M′長為半徑畫圓，與直線d交于點N′；④過點N′作N′C′⊥A′N′交直線c于點C′，連接A′C′；⑤以點A′為圓心，A′C′長為半徑畫圓，此圓交直線b于點B′；⑥連接A′B′、B′C′，則△A′B′C′為所求等邊三角形．
點評：本題綜合性較強，考查了等邊三角形的判定，全等三角形的判定，旋轉的性質和作圖-復雜作圖，第（4）題有一定的難度．