Question

14、已知x＞y＞z＞1，那么適合等式xyz+xy+yz+zx+x+y+z=2003的整數解為

x=166，y=3，z=2

．

Answer 1

分析：先把原式化為幾個因式積的形式，再把2004分解成幾個正整數的積，再根據x＞y＞z＞1即可求出對應的未知數的值．

解答：解：原式=xy（z+1）+z（x+y）+x+y+z
=xy（z+1）+（z+1）（x+y）+（z+1）-1，
=（xy+xy+1）（z+1）-1，
=（x+1）（y+1）（z+1）-1，
即：（x+1）（y+1）（z+1）=2004，
2004=2×2×3×167，
則2004是由三個數相乘得到，且z最小為2，z+1＞=3．則只能是3×4×167．由因為x＞y＞z＞1．
所以x=166，y=3，z=2．
故答案為：x=166，y=3，z=2．

點評：本題考查的是方程的整數根問題，根據題意把所求方程化為幾個因式積的形式是解答此題的關鍵．