Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=10，直角尺的直角頂點P在AD上滑動時（點P與A，D不重合），一直角邊經過點C，另一直角邊AB交于點E，我們知道，結論“Rt△AEP∽Rt△DPC”成立．
（1）當∠CPD=30°時，求AE的長；
（2）是否存在這樣的點P，使△DPC的周長等于△AEP周長的2倍？若存在，求出DP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于∠CPD與∠AEP同為∠APE的余角，因此當∠DPC=30°時，∠AEP=30°．可在Rt△CPD中，根據∠CPD的度數和CD的長，求出PD的長，進而可求出AP的值．同理可在Rt△APE中，求出AE的長．
（2）由于Rt△AEP∽Rt△DPC，當△DPC的周長等于△AEP周長的2倍時，兩個三角形的相似比為1：2，即===2，根據CD=AB=4，可求出PD的長．
解答：解：（1）∵∠CPD=90°-∠APE=∠AEP，
∴當∠CPD=30°時，∠AEP=30°．
在Rt△CPD中，CD=AB=4，∠CPD=30°，因此PD=CD•cot30°=4，
∴AP=AD-PD=10-4．
在Rt△APE中，AP=10-4，∠AEP=30°，因此AE=AP•cot30°=10-12．

（2）假設存在這樣的點P，
∵Rt△AEP∽Rt△DPC，
∴==2．
∵CD=AB=4，
∴AP=2，PD=8，
∴存在這樣的P點，且DP長為8．
點評：本題考查的是相似三角形和直角三角形的性質，屬中學階段的常規題．