Question

如圖所示，AB切⊙O于點B，OA交⊙O于C點，過C作DC⊥OA交AB于D．
（1）求證：△COD≌△BOD；
（2）若∠A=32°，AD=8，求⊙O的半徑（精確到0.01cm，sin32°≈0.530，cos32°≈0.848）．

Answer 1

分析：（1）根據OC⊥OA，OA過圓心可知，CD是⊙O的切線，根據切線的性質可知BD=CD，由SSS定理可知，△COD≌△BOD．
（2）根據∠A=32°，AD=8及三角函數的定義可求出CD、AC的長，再根據切割線定理即可求出OC的長．

解答：解：（1）∵OC⊥OA，OA過圓心，
∴CD是⊙O的切線，
∵AB是⊙O的切線，
∴BD=CD，
∵OB=OC，OD=OD，
∴△COD≌△BOD．

（2）∵∠A=32°，AD=8，∴CD=AD•sin∠A=8•sin32°，
由（1）可知，BD=CD，∴CD=AD•sin∠A=8•sin32°，
AC=AD•cos32°=8•cos32°，
∵BD=CD，
∴AB=8+8sin32，又tan32°=

OB

AB

，
∴OB=tan32°（8+8sin32°），
∴半徑=tan32°（8+8sin32°）≈7.65．

點評：此題考查的是切線的性質定理及解直角三角形的相關知識、及切割線定理．