Question

（2009•恩施州）如圖，在△ABC中，∠A=90°，BC=10，△ABC的面積為25，點D為AB邊上的任意一點（D不與A、B重合），過點D作DE∥BC，交AC于點E．設DE=x，以DE為折線將△ADE翻折（使△ADE落在四邊形DBCE所在的平面內），所得的△A'DE與梯形DBCE重疊部分的面積記為y．
（1）用x表示△ADE的面積；
（2）求出0＜x≤5時y與x的函數關系式；
（3）求出5＜x＜10時y與x的函數關系式；
（4）當x取何值時，y的值最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由于DE∥BC，可得出三角形ADE和ABC相似，那么可根據面積比等于相似比的平方用三角形ABC的面積表示出三角形ADE的面積．
（2）由于DE在三角形ABC的中位線上方時，重合部分的面積就是三角形ADE的面積，而DE在三角形ABC中位線下方時，重合部分就變成了梯形，因此要先看0＜x≤5時，DE的位置，根據BC的長可得出三角形的中位線是5，因此自變量這個范圍的取值說明了A′的落點應該在三角形ABC之內，因此y就是（1）中求出的三角形ADE的面積．
（3）根據（2）可知5＜x＜10時，A′的落點在三角形ABC外面，可連接AA₁，交DE于H，交BC于F，那么AH就是三角形ADE的高，A′F就是三角形A′DE的高，A′F就是三角形A′MN的高，那么可先求出三角形A′MN的面積，然后用三角形ADE的面積減去三角形A′MN的面積就可得出重合部分的面積．求三角形A′MN的面積時，可參照（1）的方法進行求解．
（4）根據（2）（3）兩個不同自變量取值范圍的函數關系式，分別得出各自的函數最大值以及對應的自變量的值，然后找出最大的y的值即可．
解答：解：（1）∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
即S_△ADE=x²；

（2）∵BC=10，
∴BC邊所對的三角形的中位線長為5，
∴當0＜x≤5時，y=S_△ADE=x²；

（3）5＜x＜10時，點A′落在三角形的外部，其重疊部分為梯形，
∵S_△A′DE=S_△ADE=x²，
∴DE邊上的高AH=A'H=x，
由已知求得AF=5，
∴A′F=AA′-AF=x-5，
由△A′MN∽△A′DE知=（）²，S_△A′MN=（x-5）²．
∴y=x²-（x-5）²=-x²+10x-25．

（4）在函數y=x²中，
∵0＜x≤5，
∴當x=5時y最大為：，
在函數y=-x²+10x-25中，
當x=-=時y最大為：，
∵＜，
∴當x=時，y最大為：．
點評：本題主要考查了相似三角形的性質，二次函數的應用等知識點．本題中根據相似比求面積是解題的基本思路．