Question

已知：點B₁（1，y₁）、B₂（2，y₂）、…、B_n（n，y_n）（n是正整數）均在直線y=3x+1上；點A₁（x₁，0）、A₂（x₂，0）、…、A_n+1（x_n+1，0）順次為x軸的正半軸上的點，其中x₁=a，且0＜a＜1；若用點A_n、B_n、A_n+1（n為1，2，3，…）構成的三角形都是以A_nA_n+1為底邊的等腰三角形，設△A_nB_nA_n+1的面積為S_n，則S₂₀₁₀-S₂₀₀₈=

 

（用含a的代數式表示）．

Answer 1

分析：解題的關鍵在于求出第一個三角形的底邊邊長，然后依次求出n=1，n=2…并總結出規律．

解答：解：根據題意可以得出A₁（a，0）、A₂（2-a，0）、A₃（2+a，0）、A₄（4-a，0）、A₅（4+a，0）
那么：n=1時，第一個等腰三角形的底邊邊長A₁A2=2-2a
n=2時，第二個等腰三角形的底邊邊長A₂A₃=2a
n=3時，第三個等腰三角形的底邊邊長A₃A₄=2-2a
n=4時，第四個等腰三角形的底邊邊長A₄A₅=2a
…
當n是偶數時等腰三角形的底邊邊長是2a
當n是奇數時等腰三角形的底邊邊長是2-2a
所以n=2008，n=2010時，等腰三角形的底邊邊長為2a
又B₂₀₀₈（2008，y₂₀₀₈），B₂₀₁₀（2010，y₂₀₁₀）在直線y=3x+1上
所以y₂₀₁₀-y₂₀₀₈=3×（2010-2008）=6
S₂₀₁₀-S₂₀₀₈=

1

2

×2a×（y₂₀₁₀-y₂₀₀₈）=6a．

點評：解決此類題首先要從簡單圖形開始分析，抓住其變化規律，從而推出一般性的結論．