Question

（2001•吉林）如圖，矩形ABCD，AD=8，DC=6，在對角線AC上取一點O，以OC為半徑的圓切AD于E，交BC于F，交CD于G．
（1）求⊙O的半徑R；
（2）設∠BFE=α，∠CED=β，請寫出α，β，90°三者之間的關系式（只需寫出一個）并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據勾股定理可以求出AC的長度，根據AD是圓的切線，連接OE半徑，得出△AOE∽△ACD，這樣就可以列出關于半徑的方程，解方程即可求出半徑；
（2）根據弦切角定理，β等于α的鄰補角∠EFC，所以三者關系可以很容易寫出．
解答：解：（1）連接OE，則OE⊥AD，
∴△AOE∽△ACD
∴
∵矩形ABCD
∴AC===10
∴
解得R=
∴⊙O的半徑R=；

（2）如圖，連接CE，
∵AD是圓的切線，
∴β=∠CFE，
∵∠BFE+∠CFE=180°
∴α+β=2×90°=180°．
點評：遇到切線作出過切點的半徑是解好本題的突破口，切線的性質是本題考查的重點．熟練掌握勾股定理和矩形的性質對解答本題也很重要．