Question

已知函數y=（a+2）x²-2（a²-1）x+1，其中自變量x為正整數，a也是正整數，求x何值時，函數值最�。�

Answer 1

分析：將函數解析式通過變形得配方式，其對稱軸為x=

a2-1

a+2

=(a-2)+

3

a+2

，因0＜

3

a+2

≤1，a-2＜

a2-1

a+2

≤a-1，故函數的最小值只可能在x取a-2，

a2-1

a+2

時達到．所以，解決本例的關鍵在于分類討論．

解答：解：∵y=（a+2）x²-2（a²-1）x+1，
∴y=（a+2）(x-

a2-1

a+2

)2+1-

(a2-1)2

a+2

，其對稱軸為x=

a2-1

a+2

=(a-2)+

3

a+2

，
因為a為正整數，故因0＜

3

a+2

≤1，a-2＜

a2-1

a+2

≤a-1，
因此，函數的最小值只能在x取a-2，a-1，

a2-1

a+2

時達到，
（1）當a-1=

a2-1

a+2

時，a=1，此時，x=1使函數取得最小值，由于x是正整數，故應舍去；
（2）a-2＜

a2-1

a+2

＜a-1時，即a＞1時，由于x是正整數，而

a2-1

a+2

為小數，故x=

a2-1

a+2

不能達到最小值，
當x=a-2時，y₁=（a+2）（a-2）²-2（a²-1）（a-2）+1，
當x=a-1時，y₂=（a+2）（a-1）²-2（a²-1）（a-1）+1，
又y₁-y₂=4-a，
①當4-a＞0時，即1＜a＜4且a為整數時，x取a-1，使y₂為最小值；
②當4-a=0時，即a=4時，有y₁=y₂，此時x取2或3；
③當4-a＜0時，即a＞4且為整數時，x取a-2，使y₁為最小值；
綜上，x=

a-1，1＜a＜4時 2或3，a=4時 a-2，當a＞4時

（其中a為整數）．

點評：本題考查了二次函數的最值，難度較大，關鍵是用分類討論的思想進行解題．