Question

已知關于x的方程k²x²+（2k-1）x+1=0有兩個實數根x₁、x₂
（1）求k的取值范圍；
（2）是否存在k的值，可以使得這兩根的倒數和等于0？如果存在，請求出k，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據方程由兩個不相等的實數根，則有△≥0，可列出不等式，求出k的取值范圍；
（2）根據一元二次方程根與系數的關系可求出x₁+x₂=-

2k-1

k2

，x₁x₂=

1

k2

，再根據題意可得

1

x1

+

1

x2

，把式子進行變形，進行代入可求出k的值．

解答：解：（1）（2k-1）²-4k²×1≥0，
解得：k≤

1

4

，
且：k²≠0，
∴k≠0，
∴k≤

1

4

且k≠0；

（2）不存在，
∵方程有兩個的實數根，
∴x₁+x₂=-

2k-1

k2

，
x₁x₂=

1

k2

，
∴

1

x1

+

1

x2

=

x2+x1

x1x2

=-

2k-1 k2

1 k2

=-2k+1=0，
k=

1

2

，
∵k≤

1

4

且k≠0；
∴不存在．

點評：此題主要考查了根的判別式，以及一元二次方程根與系數的關系，關鍵是把握準計算公式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）中：△=b²-4ac，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．