Question

（11·孝感）（滿分14分）如圖（1），矩形ABCD的一邊BC在直接坐標系中x軸上，折疊邊AD，使點D落在x軸上點F處，折痕為AE，已知AB=8，AD=10，并設點B坐標為（），其中.

（1）求點E、F的坐標（用含的式子表示）；（5分）

（2）連接OA，若△OAF是等腰三角形，求的值；（4分）

（3）如圖（2），設拋物線經過A、E兩點，其頂點為M，連接AM，若∠OAM=90°，求、、的值.（5分）

 

Answer 1

（1）∵四邊形ABCD是矩形

∴AD＝BC＝10，AB＝DC＝8，∠D＝∠DCB＝∠ABC＝90°

由折疊對稱性：AF＝AD＝10，FE＝DE

∴FC＝4……………………………………2分

設EF＝x，則EC＝8－x

在Rt△ECF中，4²＋(8－x)²＝x² 解得x＝5

∴CE＝8－x＝5

∵B(m，0)   ∴E (m＋10，3)，F(m＋6，0)……………………………………5分

（2）分三種情形討論：

若AO＝AF，∵AB⊥OF ∴OB＝BF＝6，∴m＝6…………………………………7分

若OF＝AF，則m＋6＝10 解得m＝4

若AO＝OF，在Rt△AOB中，AO²＝OB²＋AB²＝m²＋64  

說明：求對一個m值得2分，求對二個m值得3分，求對三個m值得4分

（3）由（1）知A (m，8)，E (m＋10，3)，

∴M (m＋6，－1)

設對稱軸交AD于G

∴G(m＋6，8)  ∴AG＝6，GM＝8―(―1)＝9

∵∠OAB＋∠BAM＝90°，∠BAM＋∠MAG＝90°，

∴∠OAB＝∠MAG

又∠ABO＝∠MGA＝90°，

∴△AOB∽△AMG

∴m＝12…………………………………14分

解析:略