Question

在平面直角坐標系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2，E為BC的中點，以OE為直徑的⊙O′交x軸于D點，過點D作DF⊥AE于F.

（1） 求OA，OC的長；

（2） 求證：DF為⊙O′的切線；

（3）由已知可得，△AOE是等腰三角形.那么在直線BC上是否存在除點E以外的點P，使△AOP也是等腰三角形？如果存在，請你證明點P與⊙O′的位置關系，如果不存在，請說明理由.

 

Answer 1

（1）解：在矩形ABCO中，設OC=x，則OA=x+2，

    依題意得，x(x+2)=15.

    解得（不合題意，舍去）

∴ OC=3 ，OA=5 .     …………………………………1分

（2）證明：連結O′D，在矩形OABC中，

    ∵ OC=AB，∠OCB=∠ABC，E為BC的中點，

∴△OCE≌△ABE .

∴ EO=EA .

∴∠EOA=∠EAO .

又∵O′O= O′D，

∴ ∠O′DO=∠EOA=∠EAO.

∴ O′D∥EA .

∵ DF⊥AE，

∴ DF⊥O′D .

又∵點D在⊙O′上，O′D為⊙O′的半徑，

∴ DF為⊙O′的切線.     …………………………………3分

 （3）答：存在 .

當OA=AP時，以點A為圓心，以AO為半徑畫弧，交BC于點和兩點，

則△AO、△AO均為等腰三角形.

證明：過點作H⊥OA于點H，則H=OC=3，

    ∵ A=OA=5，

∴ AH=4，OH=1.

∴（1,3）.

∵（1,3）在⊙O′的弦CE上，且不與C、E重合，

∴ 點在⊙O′內.

類似可求（9,3）.

顯然，點在點E的右側，

∴點在⊙O′外.

當OA=OP時，同①可求得，（4,3），（-4,3）.

顯然，點在點E的右側，點在點C的左側

因此，在直線BC上，除了E點外，還存在點， ，，，它們分別使△AOP為等腰三角形，且點在⊙O′內，點、、在⊙O′外.      …………7分

 

 

解析:略