Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．點P從點O開始沿OA邊向點A以1厘米/秒的速度移動；點Q從點B開始沿BO邊向點O以1厘米/秒的速度移動．如果P、Q同時出發，用t（秒）表示移動的時間（0≤t≤6），那么
（1）設△POQ的面積為y，求y關于t的函數解析式；
（2）當△POQ的面積最大時，將△POQ沿直線PQ翻折后得到△PCQ，試判斷點C是否落在直線AB上，并說明理由；
（3）當t為何值時，△POQ與△AOB相似．

Answer 1

解：（1）∵OA=12，OB=6，由題意，得BQ=1×t=t，OP=1×t=t．
∴OQ=6﹣t．
∴y=×OP×OQ=×t（6﹣t）=﹣t²+3t（0≤t≤6）；
（2）∵y=﹣t²+3t，∴當y有最大值時，t=3，
∴OQ=3，OP=3，即△POQ是等腰直角三角形．
把△POQ沿直線PQ翻折后，可得四邊形OPCQ是正方形．
∴點C的坐標為（3，3）．
∵A（12，0），B（0，6），
∴直線AB的解析式為y=﹣x+6
當x=3時，y=≠3，
∴點C不落在直線AB上；
（3）△POQ∽△AOB時，
①若，即，12﹣2t=t，∴t=4．
②若，即，6﹣t=2t，∴t=2．