Question

【題目】如圖1，拋物線y＝ax2+bx+2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，A（5，0）且AB＝3OC，P為x軸上方拋物線上的動點（P不與A，B重合），過點P作PQ⊥x軸于點Q，作PM與x軸平行，交拋物線另一點M，以PQ，PM為鄰邊作矩形PQNM．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）設矩形PQNM的周長為C，求C的取值范圍；

（3）如圖2，當P點與C點重合時，連接對角線PN，取PN上一點D（不與P，N重合），連接DM，作DE⊥DM，交x軸于點E．

①試求的值；

②試探求是否存在點D，使△DEN是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的點D坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x+2；（2）C的取值范圍是0≤C≤；（3）①2，②存在點D，使△DEN是等腰三角形，符合條件的點D坐標為（，）與（，2﹣）．

【解析】

（1）先求出點C坐標，由AB＝3OC和點A坐標得到點B坐標，用待定系數法即求出拋物線解析式．

（2）設點P坐標（p，），即能用p表示PQ；由PM∥x軸可知P、M關于拋物線對稱軸對稱，即P、M到對稱軸的距離相等，故能用p表示M的橫坐標，進而表示PM的長；由矩形PQNM周長等于PQ與PM的和的2倍，即用含p的二次式表示周長C，配方即得到其最值．再根據p的取值范圍，即能求C的取值范圍．

（3）①由P點與C點重合即求得P、M、N的坐標；由DE⊥DM，過D作x軸垂線FG，即構造出△MDG∽△DEF，所以.

②對點E在點N左側和右側進行分類討論：若點E在點N左側，先說明∠DEN為鈍角，所以△DEN為等腰三角形時只有DE＝EN一種情況．設點D橫坐標為d，求直線PN解析式即得到D的縱坐標，進而能用d表示所有線段的長，再在Rt△DEF中利用勾股定理列方程，即求出d的值；若點E在點N右側，說明∠DNE為鈍角，得DN＝EN，解題思路與第一種情況相同，即求出d的值．

（1）當x＝0時，y＝ax2+bx+2＝2

∴C（0，2），OC＝2

∴AB＝3OC＝6

∵A（5，0），即OA＝5

∴OB＝AB﹣OA＝1

∴B（﹣1，0）

把A、B坐標代入拋物線解析式得：

解得：

∴拋物線的函數表達式為

（2）設P（p， ）

∵PQ⊥x軸于Q，PM∥x軸

∴PQ＝，點P、M關于拋物線對稱軸對稱

∵拋物線對稱軸：直線

∴xM＝2+（2﹣p）＝4﹣p

∴PM＝（4﹣p）﹣p＝4﹣2p

∴C＝2（PM+PQ）＝

∵﹣1＜p＜5

∴當p＝時，C有最大值為

∴C的取值范圍是0≤C≤

（3）①過點D作GF⊥x軸于點F，交PM于G

∴∠DFE＝∠DGM＝90°，DF∥y軸

∴四邊形MNFG是矩形，△DFN∽△PON

∴

∵P點與C點重合，P、M關于直線x＝2對

∴P（0，2），M（4，2），N（4，0）

∴GF＝MN＝OP＝2，PM＝ON＝4

∴

∵DE⊥DM

∴∠MDE＝90°

∴∠MDG+∠EDF＝∠EDF+∠DEF＝90°

∴∠MDG＝∠DEF

∴△MDG∽△DEF

∴

②存在點D，使△DEN是等腰三角形

設直線PN解析式為y＝mx+n

∴ 解得：

∴直線PN解析式為y＝﹣x+2

設D（d，﹣d+2）（0＜d＜4）

∴OF＝d，DF＝﹣d+2

∴FN＝ON﹣OF＝4﹣d，DG＝FG﹣DF＝2﹣（﹣d+2）＝d

∵△MDG∽△DEF

∴

∴EF＝DG＝d

①當點E在點N左側時，如圖1，

∵四邊形DENM中，∠MDE＝∠MNE＝90°，∠DMN＜90°

∴∠DEN＝360°﹣∠MDE﹣∠MNE﹣∠DMN＝180°﹣∠DMN＞90°

∴當△DEN是等腰三角形時，DE＝EN＝FN﹣EF＝，

∵Rt△DEF中，DF2+EF2＝DE2

∴

解得：d1＝4（舍去），，

∴

∴點D坐標為

②當點E在點N右側時，如圖2，∠DNE＞90°

∴當△DEN是等腰三角形時，DN＝EN＝EF﹣FN＝,

∵Rt△DFN中，DF2+FN2＝DN2

∴

解得：，（舍去）

∴

∴點D坐標為

綜上所述，符合條件的點D坐標為與．