Question

如圖，已知∠ABC=90°，射線BD上有一點P（點P與點B不重合），且點P到BA，BC的距離分別為PE、PF，PH⊥BD交BC于H，設∠ABD=α，PB=m．
（1）當α為何值時，PE=PF；
（2）用含m和α的代數式表示PH；
（3）當α為何值時，PE=PH，并說明理由．（精確到度）

Answer 1

分析：（1）可設PE=PF，然后以此為基礎推導出α的度數；
（2）根據題意不難得出∠PBE=∠PHB=α，在直角三角形PBH中PB=m，PH的值就容易表示出來了；
（3）在直角三角形BFP和BEP中，BP是公共邊，可用BP表示出PE和PH，根據PE=PF，這樣就能求出α的值了．

解答：解：（1）當∠ABD=∠DBC時，PE⊥AB，PF⊥BC，有PE=PF，
∴∠α=

1

2

∠ABC=

1

2

×90°=45°；
（2）在Rt△BPH中，∠BHP=∠ABD=∠α，
∴PH=

PB

tanα

=

m

tanα

；

（3）在Rt△BPE中，PE=BP•sinα，
若PE=PH，則有BP•sinα=BP•cotα，
又cotα=

cosα

sinα

，
可得sinα=

cosα

sinα

，
即cosα=sin²α，
由sin2α+cos²α=1cos²α+cosα-1=0，
cosα=

-1± 5

2

，
∵cosα＞0，cosα=

5 -1

2

≈0.618，
∠α≈52°．

點評：本題考查了解直角三角形的應用，要注意第三問中兩個直角三角形有公共邊的時候，利用公共邊求解時常用的方法．