Question

【題目】先閱讀下面的知識，后解答后面的問題：

探究：如圖，在△ABC中，已知∠B=∠C，求證：AB=AC.

證明：過點A作AD⊥BC，垂足為D, 在△ABD與△ACD中，

∠B=∠C， , , 所以△ABD≌△ACD（ ），所以AB=AC.

（1）完成上述證明中的空白；

（2）已知如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠CAB.試問：AC+CD與AB相等嗎？說明理由.

Answer 1

【答案】（1），AD=AD，AAS；（2）AC+CD=AB，理由見解析.

【解析】

（1）根據AAS可判定△ABD≌△ACD，進而完成填空；

（2）過點D作DE⊥AB，垂足為E，如圖，先用AAS證明△ACD≌△AED，得到AC=AE，再作∠ACB的平分線CF交AB于點F，利用SAS證明△ACF≌△BCF，得到∠CAB=∠B，進一步通過三角形的內角和得出∠DEB=∠B，進而根據探究結論推出ED=EB，即可證得結論.

解：（1）證明：過點A作AD⊥BC，垂足為D, 在△ABD與△ACD中，

∠B=∠C， ， AD=AD ，

所以△ABD≌△ACD（AAS），

所以AB=AC.

故答案為：，AD=AD，AAS.

（2）AC+CD=AB，理由如下：

過點D作DE⊥AB，垂足為E，如圖，則∠AED=90°，

∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠AED，

∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠EAD，

在△ACD和△AED中，

∴△ACD≌△AED（AAS）.

∴AC=AE，CD=ED，

作∠ACB的平分線CF交AB于點F，則∠1=∠2，

在△ACF和△BCF中，

∴△ACF≌△BCF（SAS），∴∠CAB=∠B，

∵∠ACB=90°，∴∠CAB=∠B=45°，

∴∠DEB=90°－∠B=45°，

∴∠DEB=∠B，

由探究結論知：ED=EB.

∴BE=CD，

∴AB=AE+BE=AC+CD.