Question

如圖①，矩形ABCD的兩條邊在坐標軸上，點D與原點重合，對角線BD所在直線與y軸的夾角為60°，AB=8．矩形ABCD沿DB方向以每秒1個單位長度運動，同時點P從點A出發沿矩形ABCD的邊以每秒1個單位長度做勻速運動，經過點B到達點C，設運動時間為t．
（1）求出矩形ABCD的邊長BC；
（2）如圖②，圖形運動到第6秒時，求點P的坐標；
（3）當點P在線段BC上運動時，過點P作x軸，y軸的垂線，垂足分別為E，F，則矩形PEOF是否能與矩形ABCD相似？若能，求出t的值；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△DBC中，由于∠BDC=60°，CD=AB=8，利用三角函數知識即可求出BC的長度；
（2）當圖形運動到第6秒時，此時點P在AB上，由此得到OD=6，AP=6，由∠BDC=60°得到∠BDA=30°，平移過程中∠BDA保持不變，所以利用三角函數的定義可以求出D點坐標，接著可以求出A的坐標，也就求出P的坐標；
（3）當點P在BC邊運動時，即，已知條件可以求出點D和C的坐標，接著求出P的坐標，再用t分別表示PE、PF，最后根據矩形相似的對應邊成比例即可求出t的值．
解答：解：（1）在Rt△DBC中，∵∠BDC=60°，CD=AB=8
∴；

（2）當圖形運動到第6秒時，
此時點P在AB上，OD=6，AP=6，
而∠BDA=30°，
∴D點坐標為，
∴點A坐標為，
∴點P的坐標為；

（3）當點P在BC邊運動時，即，
而DO=t，∠BOA=30°，
∴點D的坐標為，點C的坐標為
∴點P的坐標為，
即PF=，PE=，
若矩形PEOF與矩形ABCD相似，
①若，
∴，
解得t=8，
②若，
則，
解得．
因為＞8+8，此時點P不在BC邊上，舍去．
因此當t=8時，點P到達點B，矩形PEOF與矩形BADC相似．
點評：此題比較復雜，綜合性比較強，把一次函數、平移、矩形及四邊形相似、三角函數等多個知識結合在一起，解題一定要循序漸進，不急于求成，不過計算過程也比較多，對于學生的各方面的要求比較高．