Question

已知，△ABC中，AB=AC=2，BC=2

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，∠A=90°．取一塊含45°角的直角三角尺，將直角頂點放在斜邊BC邊的中點O處，一條直角邊過A點（如圖1）．三角尺繞O點順時針方向旋轉，使90°角的兩邊與Rt△ABC的兩邊AB，AC分別相交于點E，F（如圖2）．設BE=x，CF=y．
（1）探究：在圖2中，線段AE與CF有怎樣的大小關系？證明你的結論；
（2）求在上述旋轉過程中y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（3）若將直角三角尺45°角的頂點放在斜邊BC邊的中點O處，一條直角邊過A點（如圖3）．三角尺繞O點順時針方向旋轉，使45°角的兩邊與Rt△ABC的兩邊AB，AC分別相交于點E，F（如圖4）．在三角尺繞O點旋轉的過程中，△OEF是否能成為等腰三角形？若能，直接寫出△OEF為等腰三角形時x的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先得出，∠EAO=∠C=45°，AO=OC，∠EOA=∠FOC，進而得出△EOA≌△FOC，即可得出答案；
（2）利用AE=CF，得出BE+CF=BE+AE=AB=2，即x+y=2，即可得出答案；
（3）利用OE=EF時，點E為AB中點，點F與點A重合，當OE=OF時，BE=BO=CO=CF=

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，當EF=OF時，點E與點A重合，點F為AC中點，進而得出答案．

解答：解：（1）AE=CF．
理由：連接AO．如圖2，
∵AB=AC，點O為BC的中點，∠BAC=90°，
∴∠AOC=90°，∠EAO=∠C=45°，AO=OC．
∵∠EOF=90°，∠EOA+∠AOF=90°，∠COF+∠AOF=90°，
∴∠EOA=∠FOC，
在△EOA和△FOC中，

∠EOA=∠COF AO=CO ∠OAE=∠C

∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴AE=CF．

（2）∵AE=CF，∴BE+CF=BE+AE=AB=2，即x+y=2，
∴y與x的函數關系式：y=2-x．
x的取值范圍是：0≤x≤2．

（3）△OEF能構成等腰三角形．
當OE=EF時，如圖3，點E為AB中點，點F與點A重合，BE=AE=1，即x=1，
當OE=OF時，如圖4，BE=BO=CO=CF=

2

，即x=

2

，
當EF=OF時，如圖5，點E與點A重合，點F為AC中點，即x=2，
綜上所述：△OEF為等腰三角形時x的值為1或

2

或2．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定以及等腰直角三角形的性質，利用分類討論得出是解題關鍵．