Question

如圖，二次函數y=ax²+bx的圖象與一次函數y=x+2的圖象交于A、B兩點，點A的橫坐標是-1，點B的橫坐標是2．
（1）求二次函數的表達式；
（2）設點C在二次函數圖象的OB段上，求四邊形OABC面積的最大值；
（3）試確定以點A為圓心，半徑為的圓與直線OB的位置關系．

Answer 1

解：（1）把x=-1和x=2代入y=x+2，
得A的坐標為（-1，1），B的坐標為（2，4）．
∵A，B在二次函數y=ax²+bx的圖象上，
∴，
解得，
∴二次函數的表達式為y=x²；

（2）如圖，設四邊形OABC的面積為S，點C的坐標為（t，t²），0＜t＜2，
分別過點A，B，C作x軸的垂線，垂足依次為A₁，B₁，C₁，
則OA₁=1，AA₁=1，OC₁=t，C₁C=t²，B₁C₁=4-t，BB₁=4，
于是，，
=，
=-t²+2t+3，
=-（t-1）²+4，
∴當t=1時，S的最大值為4．
即四邊形OABC的面積的最大值為4；

（3）可求得，
∴OA²+AB²=OB²
∴∠OAB=90°
過點A作AD⊥OB于D，
由，得
，
∵，
∴圓A與直線OB相交．
分析：（1）先求出A、B兩點坐標，將A、B兩點入坐標代入y=ax²+bx即可解得二次函數的表達式；
（2）設點C的坐標為（t，t²），表示出S關于t的解析式，觀察解析式可知當t=1時，四邊形OABC面積S取最大值；
（3）過點A作AD⊥OB于D，根據三角形的面積公式求出AD的長度，再判斷AD與⊙A的半徑的關系，可知圓A與直線OB相交．
點評：本題是二次函數的綜合題，其中涉及到的知識點有拋物線的公式的求法和直線與圓的位置關系等知識點，是各地中考的熱點和難點，解題時注意數形結合數學思想的運用，同學們要加強訓練，屬于中檔題．