Question

觀察下列等式：

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，將以上三個等式兩邊分別相加得：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

（1）猜想并寫出：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

． 

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

2013×2014

=

2013

2014

；
（2）探究并計算：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2012×2014

．

Answer 1

分析：（1）觀察一系列等式得到拆項規律，寫出結論；利用得出的規律化簡所求，計算即可得到結果；
（2）根據得出的規律，將原式變形，計算即可得到結果．

解答：解：（1）根據題意得：

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

2013

-

1

2014

=1-

1

2014

=

2013

2014

；
（2）原式=

1

2

×（

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+…+

1

2012

-

1

2014

）=

1

2

×（

1

2

-

1

2014

）=

503

2014

．
故答案為：（1）

1

n

-

1

n+1

；

2013

2014

點評：此題考查了有理數的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．