Question

將邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD與邊長(zhǎng)為b的正方形GHEF如圖所示擺放在一起（a≥2b），連接BD，DF，F(xiàn)B，將正方形GHEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中△BDF的面積的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：過(guò)F作BD的垂線(xiàn)，設(shè)垂足為H，由于BD是定值，△BDF的面積最大，則FH最大，△BDF的面積最小，則FH最��；可據(jù)此畫(huà)出圖形，求出兩種情況下△FDH的面積，從而得到其取值范圍．

解答：
解：∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，正方形GHEF的邊長(zhǎng)為b，
∴BD=

2

a，AF=

2

b，
作FH⊥BD于H點(diǎn)，連接AF．則S_△BDF=

1

2

×BD×FH（如圖2），
因?yàn)樾≌�方形AEFG繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，所以點(diǎn)F離線(xiàn)段BD的距離是變化的，即FH的長(zhǎng)度是變化的．
由于BD得長(zhǎng)度是定值，所以當(dāng)FH取得最大值時(shí)S_△BDF最大，當(dāng)FH取得最小值時(shí)S_△BDF最�。�
所以當(dāng)點(diǎn)F離BD最遠(yuǎn)時(shí)，F(xiàn)H取得最大值，此時(shí)點(diǎn)F、A、H在同一條直線(xiàn)上（如圖3所示）；
當(dāng)點(diǎn)F離BD最近時(shí)，F(xiàn)H取得最小值，此時(shí)點(diǎn)F、A、H也在同一條直線(xiàn)上（如圖4所示）．
在圖3中，S_△BDF=

1

2

BD×FH=

1

2

×

2

a（

2

b+

1

2

2

a）=ab+

1

2

a²，
在圖4中，S_△BDF=

1

2

BD×FH=

1

2

×

2

a（

1

2

2

a-

2

b）=

1

2

a²-ab，
∴S_△BDF的取值范圍是：

1

2

a²-ab≤S_△BDF≤

1

2

a²+ab．
故答案為

1

2

a²-ab≤S_△BDF≤

1

2

a²+ab．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)題意，確定旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角，利用角的和差關(guān)系求解．