Question

在化學實驗中，小明將半徑為6cm的圓形濾紙片按圖1所示的步驟進行折疊，并圍成圓錐形．取一漏斗，上部的圓錐形內壁（忽略漏斗管口處）的母線OB長為6cm，開口直徑為6cm．當濾紙片重疊部分三層，且每層為

1

4

圓時，濾紙圍成的圓錐形放入該漏斗中，能否緊貼漏斗的內壁？請你用所學的數學知識說明．

Answer 1

分析：此題是圓錐側面積求解的典型問題，要靈活運用公式，并結合實際解題．

解答：解：∵表面緊貼的兩圓錐形的側面展開圖為圓心角相同的兩扇形，
∴表面是否緊貼只需考慮展開圖的圓心角是否相等．
由于濾紙圍成的圓錐形只有最外層側面緊貼漏斗內壁，故只考慮該濾紙圓錐最外層的側面和漏斗內壁圓錐側面的關系．
將圓形濾紙片按圖示的步驟折成四層且每層為

1

4

圓，
則圍成的圓錐形的側面積=（1-2×

1

4

）S_濾紙圓=

1

2

S_濾紙圓．
∴它的側面展開圖是半圓，其圓心角為180度，
如將漏斗內壁構成的圓錐側面也抽象地展開，展開的扇形弧長為π×6=6π（cm），
該側面展開圖的圓心角為6π÷6×

180°

π

=180度．
由此可以看出兩圓錐的側面展開得到的扇形，它們的圓心角相等．
∴該濾紙圍成的圓錐形必能緊貼漏斗內壁．

點評：本題考查了圓錐的計算，將幾何圖形做適當變形，找出隱藏條件是解一些復雜幾何問題常用的方法．