Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是（4，0），直線y=-x+6分別與x軸，y軸交于點M、N，點P是線段MN上一點，O是坐標原點．
（1）求M、N的坐標；
（2）設P點的坐標為（x，y），寫出△OPA的面積S與y的關系式；
（3）寫出△OPA的面積S與x的關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（4）當S=10時，求P點的坐標；
（5）當△OPA是以OA為底的等腰三角形時，求P點的坐標．

Answer 1

分析：（1）分別使直線中y和x為0，解得即為點的坐標；
（2）根據三角形面積公式

1

2

×底×高，其中高為p的縱坐標，底為OA長；
（3）由（2）面積S與y的關系式，又點在直線上，把直線方程代入即可；
（4）根據（2）（3）把s的值代入即可得到點的坐標；
（5）當△OPA是以OA為底的等腰三角形時，由等腰三角形性質知p的橫坐標為OA的中點，即得p的坐標．

解答：解：（1）根據題意得：
當y=0時，x=6，即M（6，0），
當x=0時，y=6，即N（0，6），
∴M（6，0），N（0，6）；

（2）由題意得：
S=

1

2

×y×|OA|=2y；

（3）由（2）得：S=2y，
又由于點p在直線上，所以點p的坐標滿足方程y=-x+6，代入面積方程得：
S=-2x+12（0＜x＜6）；

（4）當S=10時，分別代入（2）（3）得：
P點的坐標為（1，5）；

（5）當△OPA是以OA為底的等腰三角形時，由等腰三角形性質知p的橫坐標為OA的中點，
即P點的橫坐標為2，代入直線方程得：y=4，即點p坐標（2，4）．

點評：本題考查一次函數圖象的性質和坐標特征，以及與三角幾何綜合，要熟練掌握一次函數圖象特征．