Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，點E，F分別在AB，BD上，且△ADE≌△FDE，DE交AC于點G，連接GF．得到下列四個結論：①∠ADG＝22.5°；②S△AGD＝S△OGD；③BE＝2OG；④四邊形AEFG是菱形，其中正確的結論是_____．（填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

由正方形的性質及△ADE≌△FDE，可判斷①；

證明△ADG≌△FDG（SAS），可判斷②；

通過全等三角形的性質及等腰三角形的判定可證得EF＝GF＝EA＝GA，從而判定四邊形AEFG是菱形，故④可判斷；

由△OGF為等腰直角三角形及△BFE為等腰直角三角形，可判斷③．

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠GAD＝∠ADO＝45°，

∴由△ADE≌△FDE，

可得：∠ADG＝∠ADO＝22.5°，

故①正確；

∵△ADE≌△FDE，

∴AD＝FD，∠ADG＝∠FDG，

又∵GD＝GD，

∴△ADG≌△FDG（SAS），

∴S△AGD＞S△OGD，

故②錯誤；

∵△ADE≌△FDE，

∴EA＝EF，

∵△ADG≌△FDG，

∴GA＝GF，∠AGD＝∠FGD，

∴∠AGE＝∠FGE．

∵∠EFD＝∠AOF＝90°，

∴EF∥AC，

∴∠FEG＝∠AGE，

∴∠FGE＝∠FEG，

∴EF＝GF，

∴EF＝GF＝EA＝GA，

∴四邊形AEFG是菱形，故④正確；

∵四邊形AEFG是菱形，

∴AE∥FG，

∴∠OGF＝∠OAB＝45°，

∴△OGF為等腰直角三角形，

∴FG＝OG，

∴EF＝OG，

∵△BFE為等腰直角三角形，

∴BE＝EF＝OG＝2OG，

∴③正確．

綜上，正確的有①③④．

故答案為：①③④．