Question

小明和小紅在一本數學資料書上看到有這樣一道競賽題：“已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且|b+c-2a|+（b+c-5）²=0，求b的取值范圍”．
（1）小明說：“b的取值范圍，我看不出如何求，但我能求出a的長度．”你知道小明是如何計算的嗎？你幫他寫出求解的過程．
（2）小紅說：“我也看不出如何求b的范圍，但我能用含b的代數式表示c”．同學，你能嗎？若能，幫小紅寫出過程．
（3）小明和小紅一起去問數學老師，老師說：“根據你們二人的求解，利用書上三角形的三邊滿足的關系，即可求出答案．”你知道答案嗎？請寫出過程．

Answer 1

分析：（1）根據平方和絕對值的非負性，可得b+c-2a=0且b+c-5=0，把b+c看作一個整體，兩個方程相減即可得a的值．
（2）由b+c-5=0，直接移項，可得用含b的代數式表示c的式子．
（3）由（1）（2）可知，a=

5

2

，c=5-b，根據三角形的三邊關系，兩邊之和大于第三邊且兩邊之差小于第三邊，列不等式組，求出b的取值范圍．

解答：解：（1）∵|b+c-2a|+（b+c-5）²=0，
∴b+c-2a=0且b+c-5=0，
∴2a=5，解得a=

5

2

；
（2）由b+c-5=0，得c=5-b；
（3）由三角形的三邊關系，得
當5-b≥

5

2

，即b≤

5

2

時，則

b＜5-b+ 5 2 b＞5-b- 5 2

，解得

5

4

＜b≤

5

2

；
當5-b＜

5

2

時，即b＞

5

2

，則

b＜5-b+ 5 2 b＞ 5 2 -(5-b)

，解得

5

2

＜b＜

15

4

，
∴b的取值范圍為

5

4

＜b＜

15

4

．

點評：已知三角形的兩邊，則第三邊a的取值范圍是“兩邊之差＜a＜兩邊之和”．