Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，且點B與點C的坐標分別為B(3，0)，C(0，3)，點M是拋物線的頂點．

（1）求二次函數的關系式；

（2）點P為線段MB上一個動點，過點P作PD⊥x軸于點D．若OD＝m，△PCD的面積為S，

①求S與m的函數關系式，寫出自變量m的取值范圍．

②當S取得最值時，求點P的坐標；

（3）在MB上是否存在點P，使△PCD為直角三角形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）①S＝﹣m2+3m，1≤m≤3；②P(，3)；（3）存在，點P的坐標為(，3)或(﹣3+3，12﹣6)．

【解析】

（1）將點B，C的坐標代入 即可；

（2）①求出頂點坐標，直線MB的解析式，由PD⊥x軸且 知P（m，﹣2m+6），即可用含m的代數式表示出S；

②在①的情況下，將S與m的關系式化為頂點式，由二次函數的圖象及性質即可寫出點P的坐標；

（3）分情況討論，如圖2﹣1，當 時，推出 ，則點P縱坐標為3，即可寫出點P坐標；如圖2﹣2，當 時，證 ，由銳角三角函數可求出m的值，即可寫出點P坐標；當 時，不存在點P．

（1）將點B（3，0），C（0，3）代入 ，

得 ，

解得 ，

∴二次函數的解析式為 ；

（2）①∵ ，

∴頂點M（1，4），

設直線BM的解析式為 ，

將點B（3，0），M（1，4）代入，

得 ，

解得 ，

∴直線BM的解析式為 ，

∵PD⊥x軸且 ，

∴P（m，﹣2m+6），

∴，

即 ，

∵點P在線段BM上，且B（3，0），M（1，4），

∴ ；

②∵，

∵ ，

∴當 時，S取最大值 ，

∴P（ ，3）；

（3）存在，理由如下：

①如圖2﹣1，當 時，

∵ ，

∴四邊形CODP為矩形，

∴ ，

將 代入直線 ，

得，

∴P（ ，3）；

②如圖2﹣2，當∠PCD＝90°時，

∵ ， ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴，

∴ ，

∴ ，

解得 （舍去）， ，

∴P（，），

③當 時，

∵PD⊥x軸，

∴不存在，

綜上所述，點P的坐標為（ ，3）或（，）．