Question

如圖，拋物線y=x²-2x-3與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），直線l與拋物線交于A，C兩點，其中點C的橫坐標為2．

（1）求A，B兩點的坐標及直線AC的函數表達式；

（2）P是線段AC上的一個動點（P與A，C不重合），過P點作y軸的平行線交拋物

線于點E，求△ACE面積的最大值；

（3）若直線PE為拋物線的對稱軸，拋物線與y軸交于點D，直線AC與y軸交于點Q，

點M為直線PE上一動點，則在x軸上是否存在一點N，使四邊形DMNQ的周長

最小，若存在，求出這個最小值及點M，N的坐標；若不存在，請說明理由.

（4）點H是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、H四個點為頂點

的四邊形是平行四邊形？如果存在，請直接寫出所有滿足條件的F點坐標；如果

不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）令y=0，解得x₁=-1或x₂=3，

∴A(-1，0)，B(3，0)；

將C點的橫坐標x=2代入y=x²-2x-3得y=-3，

∴C（2，-3） ∴直線AC的函數解析式是y=-x-1                

（2）設P點的橫坐標為x(-1≤x≤2)

則P、E的坐標分別為：P(x，-x-1)，E(x，x²-2x-3)

∵P點在E點的上方，PE=(-x-1)-(x²-2x-3) =-x²+x+2，

∴當x=時，PE的最大值=

△ACE的面積最大值=

（3）D點關于PE的對稱點為點C(2，-3)，點Q(0，-1)點關

于x軸的對稱點為M(0，1)，連接CQ交直線PE與MD點，

交x軸于N點，可求直線CQ的解析式為，

M(1，-1)， N(，0) 

（4）存在F₁(-3，0)，F₂(1，0)，F₃，F₄．