Question

已知，AB為⊙O的直徑，點E為弧AB任意一點，如圖，AC平分∠BAE，交⊙O于C，過點C作CD⊥AE于D，與AB的延長線交于P．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若∠BAE=60°，求線段PB與AB的數量關系．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過角平分線和有兩半徑為邊的三角形是等腰三角形可得到OC∥AD，再證明OC⊥CD．
（2）先得到△ACB是含30°的直角三角形，找到AB=2BC，再證明BC=BP即可．
解答：（1）證明：連OC，BC，如圖，
∵∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠OCA，
∴∠2=∠OCA．
∴AD∥OC．
又∵CD⊥AE，
∴OC⊥CD．
∴PC是⊙O的切線．

（2）解：若∠BAE=60°，則∠1=30°，∠P=30°．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠BCA=90°．
∴∠3=60°，則△OBC為等邊三角形，即BC=AB．
而∠3=∠P+∠4，所以∠4=30°，
∴BC=BP．
∴PB=AB．
點評：熟練掌握切線的判定定理，證明切線的問題轉化為證明線段垂直的問題．要學會充分利用特殊角進行角度計算，確定邊之間的數量．