Question

將一副三角尺如圖拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的長直角邊與含45°角的三角尺（△ACD）的斜邊恰好重合．已知AB=2

3

，E是AC上的一點(diǎn)（AE＞CE），且DE=BE，則AE的長為

5

2

．

Answer 1

分析：根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BC，再利用勾股定理列式求出AC，過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出DF=CF=

1

2

AC，設(shè)CE=x，表示出EF，然后分別用勾股定理表示出DE²、BE²，再列出方程求解即可．

解答：解：∵AB=2

3

，∠BAC=30°，
∴BC=

1

2

AB=

1

2

×2

3

=

3

，
根據(jù)勾股定理，AC=

AB2-BC2

=

(2 3 )2-( 3 )2

=3，
過點(diǎn)D作DF⊥AC于F，
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴DF=CF=

1

2

AC=

3

2

，
設(shè)CE=x，則EF=

3

2

-x，
在Rt△DEF中，DE²=DF²+EF²=（

3

2

）²+（

3

2

-x）²，
在Rt△BCE中，BE²=BC²+CE²=（

3

）²+x²，
∵DE=BE，
∴（

3

2

）²+（

3

2

-x）²=（

3

）²+x²，
解得x=

1

2

，
所以，AE=AC-CE=3-

1

2

=

5

2

．
故答案為：

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線，利用勾股定理表示出DE、BE然后列出方程是解題的關(guān)鍵．