Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c（b≤0）的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，其中點A的坐標為（-2，0）；直線x=1與拋物線交于點E，與x軸交于點F，且45°≤∠FAE≤60度．
（1）用b表示點E的坐標；
（2）求實數b的取值范圍；
（3）請問△BCE的面積是否有最大值？若有，求出這個最大值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求E點的坐標關鍵是求出E的縱坐標．可將A點坐標代入拋物線的解析式中即可得出b，c的關系式．然后將E點的橫坐標代入拋物線的解析式中即可得出E點的坐標．
（2）根據（1）的E點坐標即可的EF的長，在直角三角形AEF中，不難求出AF的長，可根據AF的長和∠FAE度數的取值范圍即可求出EF的取值范圍，即b的取值范圍．
（3）由于三角形BCE的面積無法直接求出，因此可根據△BCE的面積=梯形OCEF的面積+△EFB的面積-△BOC的面積來得出關于△BCE的面積和b的函數關系式，根據函數的性質以及b的取值范圍即可求出△BCE的面積的最大值．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²+bx+c過A（-2，0），
∴c=2b-4
∵點E在拋物線上，
∴y=1+b+c=1+2b-4+b=3b-3，
∴點E的坐標為（1，3b-3）．

（2）由（1）得EF=3-3b，
∵45°≤∠FAE≤60°，AF=3，
tan60°=

3-3b

3

=

3

，
∴b=1-

3

，
∴1-

3

≤b≤0．

（3）△BCE的面積有最大值，
∵y=x²+bx+c的對稱軸為x=-

b

2

，A（-2，0），
∴點B的坐標為（2-b，0），
由（1）得C（0，2b-4），
而S_△BCE=S_梯形OCEF+S_△EFB-S_△OCB=

1

2

（OC+EF）•OF+

1

2

EF•FB-

1

2

OB•OC
=

1

2

[（4-2b）+（3-3b）]×1+

1

2

（3-3b）（1-b）-

1

2

（2-b）•（4-2b）
=

1

2

（b²-3b+2），
∵y=

1

2

（b²-3b+2）的對稱軸是b=

3

2

，1-

3

≤b≤0
∴當b=1-

3

時，S_△BCE取最大值，
其最大值為

1

2

[（1-

3

）²-3（1-

3

）+2]=

3+ 3

2

．

點評：本題主要考查了二次函數的應用，綜合性較強，考查學生數形結合的數學思想方法．