Question

如圖，AB是半圓O直徑，半徑OC⊥AB，連接AC，∠CAB的平分線AD分別交OC于點E，交于點D，連接CD、OD，以下三個結論：①AC∥OD；②AC=2CD；③線段CD是CE與CO的比例中項，其中所有正確結論的序號是（ ）

A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③

Answer 1

【答案】分析：由OA=OD，利用等邊對等角得到一對角相等，再由AD為角平分線得到一對角相等，等量代換得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行即可得到AC與OD平行，故選項①正確；由CO垂直于AB，OA=OC，得到三角形AOC為等腰直角三角形，得到∠CAB為45度，再由兩直線平行同位角相等得到∠DOB為45度，即∠COD為45度，再由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半得到∠ADC為45度，得到一對角相等，再由一對公共角，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到三角形CED與三角形OCD相似，由相似得比例可得出CD為CE與CO的比例中項，故選項③正確；取弧AC的中點F，得到弧AF與弧CF相等，再由弧AC=2弧CD，得到三條弧相等，利用等弧對等弦得到CF=AF=CD，即CF+AF=2CD，而CF+AF大于AC，可得出AC不等式2CD，故選項②錯誤．
解答：解：∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD為∠CAB的平分線，
∴∠CAD=∠OAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC∥OD，故選項①正確；
∵OC⊥AB，OA=OC，
∴△AOC為等腰直角三角形，
∴∠DOB=∠COD=∠BAC=45°，
∵∠ADC與∠AOC都對，
∴∠ADC=∠AOC=45°，
∴∠ADC=∠COD，又∠OCD=∠DCE，
∴△DCE∽△OCD，
∴=，即CD²=CE•OC，
故選項③正確；
取的中點F，可得=，
∵=2，
∴==，
∴AF=FC=CD，即AF+FC=2CD，
∵AF+FC＞AC，
則2CD＞AC，故選項②錯誤，
則正確的選項有：①③．
故選B
點評：此題考查了圓周角定理，圓心角、弧及弦之間的關系，以及相似三角形的判定與性質，熟練掌握圓周角定理是解本題的關鍵．